積分因子を使った解法をします。
一般論の説明

dy/dx+p(x)y=q(x)
y'+py=q
のとき、
全微分方程式の形にすると
(py-q)dx+dy=0

積分因子λ(x)
をかけると
(λpy-λq)dx+λdy=0
全微分方程式で

∂(λpy-qλ)/∂y=∂λ/∂xが完全微分方程式の条件。
右辺はλはxだけの関数だから
dλ/dxになる。
左辺はyで偏微分してλpだけになる。
よって、
λp=dλ/dx
(λ'=λp)

λpdx=dλ
変数分離して、

p•dx=(1/λ)•dλ
∫p•dx=logλ
よって、
λ(x)=exp(∫p•dx)

が積分因子になる。

最初の式
y'+py=q
に積分因子をかけると
λy'+pyλ=qλ
これは、
(λy)'=qλ
になっている。

なぜなら、
(λy)'=λ'y+λy'=λpy+λy'

よって、
λy=∫qλ•dx+C
y=(1/λ){C+∫qλ•dx}
で一般解が求まる。

【例題】
(1)dy/dx + 2xy = x

(2xy-y)dx+dy=0
で積分因子は
exp(∫2xdx)=e^(x^2)

y'+ 2xy = xの
両辺に
e^(x^2)をかけると
y'e^(x^2)+2xye^(x^2)=xe^(x^2)
左辺は
ye^(x^2)をxで微分して形
よって
ye^(x^2)
=∫xe^(x^2)dx
=(1/2)e^(x^2)+C

よって、
y=1/2+Ce^(-x^2)


(2)
dy/dx - y/x = 1 - 2x^2

(-y/x-1+2x^2)dx+dy=0

積分因子は、
e^(-∫1/x•dx)
=e^(log(1/x))
=1/x

y'-y/x=1-2x^2
両辺に1/xをかけると
y'/x-y/x^2=1/x-2x
よって、左辺はy/xをxで微分したもの
(y/x)'=1/x-2x
積分して
y/x=-x^2+logx+C
y=Cx-x^3+xlogx

(3)dy/dx + ycos(x) = sin(x)cos(x)
y'+ycos(x) = sin(x)cos(x)


(ycosx-sinxcosx)dx+dy=0

で積分因子は
e^(∫cosxdx)
=e^(sinx)

y'+ycos(x) = sin(x)cos(x)

e^(sinx)をかけると

y'e^(sinx)+ycosxe^(sinx)=sinxcosxe^(sinx)
(ye^sinx)'=∫sinxcosxe^(sinx)dx
右辺の積分はsinx=tと置換して解けます。

ye^(sinx)=(sinx-1)e^(sinx)+C
よって、

y=(sinx-1)+Ce^(-sinx)



(4)
dy/dx - αy/(x+1) = (e^x)・(x+1)^α

(-ay/(x+1)-e^x•(x+1))dx+dy=0
積分因子は

exp(∫-a/(x+1)•dx)
=exp(-alog(x+1))
=exp[log{1/(x+1)^a}]
=1/(x+1)^a

y'-ay/(x+1)=e^x•(x+1)^a
に1/(x+1)^a
をかけると
y'/(x+1)^a-ay/(x+1)^(a+1)=e^x

{y/(x+1)^a}'=∫e^xdx
y/(x+1)^a=e^x+C
y=(x+1)^a•{e^x+C}